Question

如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F₁,F₂,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；

（2）求|MN|的最小值；

（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論。

Answer 1

解：（1）∵e＝，且過點P（1，）

∴   解得：a＝2，b＝                 

∴橢圓方程為＝1                            

（2）設點M（4，y₁），N（4，y₂），則＝（5，y₁），＝（3，y₂），

則＝15＋y₁·y₂＝0，∴y₁·y₂＝－15           

又∵|MN|＝|y₂－y₁|＝|――y₁|＝＋|y₁|≥2

∴|MN|的最小值為2。(y₁＝±等號成立)        

（3）圓心C的坐標為（4，），半徑r＝，圓C的施方程為：

(x－4)²＋(y－)²＝                     

整理得x²＋y²―8x―(y₁＋y₂)y＋16＋y₁·y₂＝0

∵y₁·y₂＝－15    ∴x²＋y²―8x―(y₁＋y₂)y＋1＝0       

令y＝0，得x²－8x＋1＝0，∴x＝4±，

∴圓C過定點（4，±，0）