Question

13．證明函數(shù)f（x）=log_a$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明．

解答 證明：設(shè)x₁，x₂為[0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵y=a^x為增函數(shù)，∴$0＜{a}^{{x}_{1}}+1＜{a}^{{x}_{2}}+1$，即0＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}＜1$，
又y=log_ax也為增函數(shù)，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{2}-log\frac{{a}^{{x}_{2}}+1}{2}$=$lo{g}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}+1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=log_a$\frac{{a}^{x}+1}{2}$（a＞1）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．