Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，若對(duì)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為, 設(shè)h（x）=x-1-lnx，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)， ，∴.

(2) ，

令，

①當(dāng)時(shí)， ， ，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)， ，令，則，

在和上， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

在上， 函數(shù)單調(diào)遞減.

(3)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有極值.

可化為，

∵，∴，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)， ，∴，

所以.

又∵，∴，即的取值范圍是.