Question

已知數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N^*），b1=

2

3

．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件根據等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出{a_n}的通項公式；由3S_n=S_n-1+2（n≥2），得到3S_n-1=S_n-2+2（n≥3），兩式相減推導出{b_n}是等比數列，由此能求出{b_n}的通項公式．
（2）由（1）知cn=an•bn=

2(3n-1)

3n

，由此利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}是等差數列，設公差為d，
∵a₅=14，a₇=20，∴

a1+4d=14 a1+6d=20

，解得

a1=2 d=3

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1．（2分）
∵3S_n=S_n-1+2（n≥2）①，
∴3S_n-1=S_n-2+2（n≥3）②，
由①-②得3b_n=b_n-1（n≥3），
∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥3)，（4分）
由b1=

2

3

，3S_n=S_n-1+2（n≥2）得3（b₁+b₂）=b₁+2，
∴b2=

2

9

，∴

b2

b1

=

1

3

，（5分）
∴{b_n}是等比數列，公比是

1

3

，∴bn=

2

3n

．（6分）
（2）由（1）知cn=an•bn=

2(3n-1)

3n

，
∴Tn=2(2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-4)

1

3n-1

+(3n-1)

1

3n

)，

1

3

Tn=2(2•

1

32

+5•

1

33

+8•

1

34

+…+(3n-4)

1

3n

+(3n-1)

1

3n

)，（8分）
∴

2

3

Tn=2(2•

1

3

+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-(3n-1)

1

3n+1

)
=2(

2

3

+

1 3 (1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

-(3n-1)

1

3n+1

)
=2(

7

6

-

1

2

1

3n-1

-(3n-1)

1

3n+1

)
=

7

3

-

6n+7

3n+1

，
∴Tn=

7

2

-

6n+1

2-3n

．（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．