Question

某玩具生產(chǎn)廠家接到一生產(chǎn)倫敦奧運(yùn)吉祥物的生產(chǎn)訂單，據(jù)以往數(shù)據(jù)分析，若生產(chǎn)數(shù)量為x萬(wàn)件，則可獲利-lnx+

x2

10

萬(wàn)美元，受美聯(lián)貨幣政策影響，美元貶值，獲利將因美元貶值而損失mx萬(wàn)美元，其中m為該時(shí)段美元的貶值指數(shù)，且m∈（0，1）．
（1）若美元貶值指數(shù)m=

1

10

，為使得企業(yè)生產(chǎn)獲利隨x的增加而增長(zhǎng)，該企業(yè)生產(chǎn)數(shù)量應(yīng)在什么范圍？
（2）若因運(yùn)輸?shù)绕渌�方面的影響，使得企業(yè)生產(chǎn)x萬(wàn)件產(chǎn)品需增加生產(chǎn)成本

x

20

萬(wàn)美元，已知該企業(yè)生產(chǎn)能力為x∈[4，10]，試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值才能使得該企業(yè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品獲得的平均利潤(rùn)不低于0.3美元？

Answer 1

分析：（1）先確定利潤(rùn)函數(shù)，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可求得結(jié)論；
（2）由題意x∈[4，10]時(shí)，都有

-lnx+ x2 10 -mx- x 20

x

≥0.3，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）若美元貶值指數(shù)m=

1

10

，則企業(yè)獲得利潤(rùn)是f（x）=-lnx+

x2

10

-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+

x

5

-0.1=

x2-0.5x-5

5x

令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5≥0，∵x＞0，∴x≥2.5
即x≥2.5時(shí)，企業(yè)生產(chǎn)獲利隨x的增加而增長(zhǎng)；
（2）x∈[4，10]時(shí)，都有

-lnx+ x2 10 -mx- x 20

x

≥0.3
∴x∈[4，10]時(shí)，m≤-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

，
令g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

，則g′(x)=

lnx-1

x2

+

1

10

＞0
∴g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

在[4，10]上為增函數(shù)
∴g（x）=-

lnx

x

+

x

10

-

7

20

在[4，10]上的最小值為-

ln4

4

+

1

20

∴0＜m≤-

ln4

4

+

1

20

時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品獲得的平均利潤(rùn)不低于0.3美元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．