Question

4．如圖，E、F、O分別是PA，PB，AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，求證：FG∥平面BOE（兩種方法證明）．

Answer 1

分析 【方法一】取PE的中點(diǎn)H，連接FH，GH，證明平面FHG∥平面BEO，從而得出FG∥平面BOE；
【方法二】連接AF，交BE于點(diǎn)M，連接OM，證明MO∥FG，從而證明FG∥平面BOE．

解答 證明：【方法一】取PE的中點(diǎn)H，連接FH，GH，如圖1所示：

E、F、O分別是PA，PB，AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，
∴HF∥EB，HG∥EO；
又HF?平面BEO，HG?平面BEO，
EB?平面BEO，EO?平面BEO，
∴HF∥平面BEO，HG∥平面BEO；
又HF∩HG=H，HF?平面FHG，HG?平面FHG，
∴平面FHG∥平面BEO，
又FG?平面FHG，
∴FG∥平面BOE．
【方法二】連接AF，交BE于點(diǎn)M，連接OM，
如圖2所示：

∵E、F、O分別是PA，PB，AC的中點(diǎn)，G是OC的中點(diǎn)，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AO}{OG}$=$\frac{2}{1}$，
∴MO∥FG；
又MO?平面BOE，F(xiàn)G?平面BOE，
∴FG∥平面BOE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的線面平行的證明問(wèn)題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是中檔題目．