Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x處取得極小值，x∈（1，3），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)和f（0）的值，結(jié)合直線方程的點斜式方程，可求切線方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x處取得最小值必是函數(shù)的極小值，可以先通過討論導(dǎo)數(shù)的零點存在性，得出函數(shù)有極小值的a的大致取值范圍，然后通過極小值對應(yīng)的x∈（1，3），解關(guān)于a的不等式，從而得出取值范圍
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=（3-6a）x+12a-4，
當(dāng)x=2時，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得點（2，2）在切線上
∴曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得  
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判別式

①當(dāng)時，函數(shù)f（x）沒有極小值
②當(dāng)或時，
由f′（x）=0得
故x=x₂，由題設(shè)可知
（i）當(dāng)時，不等式沒有實數(shù)解；
（ii）當(dāng)時，不等式
化為，
解得
綜合①②，得a的取值范圍是
點評：將字母a看成常數(shù)，討論關(guān)于x的三次多項式函數(shù)的極值點，是解決本題的難點，本題中處理關(guān)于a的無理不等式，計算也比較繁，因此本題對能力的要求比較高．