Question

某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析：（1）由題意可知當m=0時，x=1由滿足x=3-

k

m+1

，即可得出k值，從而得出每件產(chǎn)品的銷售價格，從而得出2010年的利潤的表達式即可；
（2）對于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項之積為定值結(jié)合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

解答：解：（1）由題意可知當m=0時，x=1（萬件），
∴1=3-k?k=2．（2分）
∴x=3-

2

m+1

．
每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

（元），（4分）
∴2010年的利潤y=x•(1.5×

8+16x

x

)-（8+16x+m）（6分）
=4+8x-m=4+8(3-

2

m+1

)-m
=-[

16

m+1

+(m+1)]+29（m≥0）．（8分）
（2）∵m≥0時，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，（12分）
∴y≤-8+29=21，當且僅當

16

m+1

=m+1?m=3（萬元）時，
y_max=21（萬元）．（15分）
所以當該廠家2010年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．（15分）

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．