Question

已知點列P_l(x₁，1)，P₂(x₂，2)，…，P_n(x_n，n)…，且與向量a=(1，)共線，n是正整數(shù)，O是坐標原點．設x₁=1．

(Ⅰ)求x₂，x₃；

(Ⅱ)求數(shù)列{x_n}的通項公式；

(Ⅲ)求的坐標．

Answer 1

解：(1)由題意：=λ·a  x₁=1

∴當n=1時，有=(x₂-1，1)=(λ,)

∴∴λ=2，x₂=3

同理可求得：x₃=7

(Ⅱ)由題意：=(x_n+1-x_n,1)，

=λ·a=λ(1，)

∴∴x_n+1-x_n=2ⁿ

x_n=x₁+(x₂-x₁)+(x₃-x₂)+…+(x_n-x_n-1)

=1+2+2²+…+2^n-1

=2ⁿ-1

當n=1時，x₁=1也滿足

∴{x_n}的通項公式為x_n=2ⁿ-1

(Ⅲ)令=(x₀，y₀)

則由(Ⅱ)知：x₀=x₁+x₂+…+x₇=(2¹+2²+…+2⁷)-7=247

y₀=1+2+…+7=28

∴=(247，28).