Question

已知f(x)=x-e

x

a

(a＞0)．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線x-2y+1=0垂直，求a的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：

x1

x2

＜

e

a

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系求出切線的斜率f′（0），并根據(jù)f′（0）•

1

2

=-1從而求出a；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后討論區(qū)間[a，2a]和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，從而求出函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最大值；
（3）根據(jù)（2）求出函數(shù)f（x）的極大值，讓極大值f（alna）＞0，得到a-e＞0，所以f（a）=1-e＞0；所以x₂-x₁＞alna-a，并且x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，帶入

x1

x2

即可完成本問(wèn)證明．

解答： （1）解：f′（x）=1-

1

a

e

x

a

；
f′（0）=1-

1

a

，∴（1-

1

a

）•

1

2

=-1，∴a=

1

3

；
（2）f′（x）=1-

1

a

e

x

a

，令f′（x）=0，得1-

1

a

e

x

a

=0，即x=alna；
由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得：x＞alna；
∴f（x）在（-∞，alna]上為增函數(shù)，在（alna，+∞）上為減函數(shù)；
∴當(dāng)a＞alna，即a＜e時(shí)，f（x）_max=f（a）=a-e；
當(dāng)a≤alna≤2a，即e≤a≤e²時(shí)，f（x）_max=f（alna）=alna-a；
當(dāng)2a＜alna，即a＞e²時(shí)，f(x)max=f(2a)=2a-e2；
（3）證明：由（2）知f（x）_max=f（alna）=alna-a；
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0；
∴l(xiāng)na＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0；
∴x₂-x₁＞alna-a，又x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

；
∴

x1

x2

=e

1

a

(x1-x2)＜e

1

a

(a-alna)=

e

a

．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，相互垂直兩直線的斜率的關(guān)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值，極大值的定義．