Question

如圖,正八面體的棱長(zhǎng)為a,求:

(1)PQ的長(zhǎng);

(2)二面角PBCQ的余弦值;

(3)兩個(gè)相對(duì)面之間的距離.

Answer 1

思路分析:(1)將求PQ的長(zhǎng),轉(zhuǎn)化為求正四棱錐P—ABCD的高;(2)注意正八面體面的特征,取棱BC的中點(diǎn),則立即得到二面角PBCQ的平面角;(3)將面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離,用等體積法求之.

解：(1)連結(jié)PQ,交ABCD于O,則O為其中心,取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)PE.

在Rt△POE中,

    ∵OE=AB=a,PE=a,∴PO===a.

    于是PQ=2PO=a.

    (2)連結(jié)QE.因PE⊥BC,QE⊥BC,所以∠PEQ就是二面角P-BC-Q的平面角.

    在△PEQ中,由余弦定理得

    cos∠PEQ=

    ===-,

    即二面角PBCQ的余弦值為-.

    (3)顯然,平面PBC∥平面QAD,因此它們之間的距離就是點(diǎn)A到平面PBC的距離,設(shè)其為h,則V_A—PCB=V_P—ABC,即·S_△PBC·h=·S_△ABC·PO.

    ∴ a²·h=a²· a².∴h=a,

    即兩個(gè)相對(duì)面之間的距離為a.