Question

20．已知圓C：x²+y²-4x+2y=0與圓C₂：x²+y²-2y=0相交于A，B兩點．
（1）求過A，B兩點且圓心在直線2x+y=2上的圓C的方程；
（2）設P，Q是圓C上兩點，且滿足|OP|•|OQ|=1，求坐標原點到直線PQ的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可設過兩圓交點A、B的圓系方程為：x²+y²-4x+2y+λ（x²+y²-2y）=0，求出圓心，代入直線2x+y=2，求出λ，即可求出圓C的方程；
（2）設直線PQ的方程為y=kx+λ，與圓的方程聯立，利用|OP|•|OQ|=1，結合韋達定理，即可求坐標原點到直線PQ的距離．

解答 解：（1）由題意可設過兩圓交點A、B的圓系方程為：x²+y²-4x+2y+λ（x²+y²-2y）=0，
它的圓心為$（\frac{2}{1+λ}，\frac{1-λ}{1+λ}）$，代入直線2x+y-2=0得λ=1，
所以，圓C的方程為：（x-1）²+y²=1
（2）依題意知直線PQ的斜率存在，
設直線PQ的方程為y=kx+λ，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=1}\\{y=kx+λ}\end{array}}\right.$得（1+k²）x²+2（kλ-1）x+λ²=0
所以${x_1}{x_2}=\frac{λ^2}{{1+{k^2}}}$①
|OP|•|OQ|=1$⇒（{x_1}^2+{y_1}^2）（{x_2}^2+{y_2}^2）=1$
因為${（{x_1}-1）^2}+{y_1}^2=1$，${（{x_2}-1）^2}+{y_2}^2=1$
所以$[{x_1}^2+1-{（{x_1}-1）^2}][{x_2}^2+1-{（{x_2}-1）^2}]=1$
所以${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}$②
由①②可得，$\frac{λ^2}{{1+{k^2}}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{|λ|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$
所以，原點到直線PQ的距離$d=\frac{|λ|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．