Question

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=

f1(x)     f1(x)≤f2(x)    f2(x)     f1(x)＞f2(x)

．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)2≤a＜9時(shí)，設(shè)f（x）=f₂（x）所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為l（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m），試求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在這樣的a，使得當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本問(wèn)中要代入a=1后，注意f₁（x）與f₂（x）的大小比較，以便于求出f（x）的解析式，進(jìn)而利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念解決問(wèn)題．
（Ⅱ）本問(wèn)中借鑒上問(wèn)（1）的解題思想，由具體到一般，方法依然是針對(duì)a的范圍條件，作差比較出f₁（x）與f₂（x）的大小，
在2≤a＜9時(shí)，自變量x取哪些值時(shí)f（x）=f₂（x），進(jìn)而確定求出f（x）的解析式，對(duì)參數(shù)的討論要結(jié)合具體的數(shù)值，從直觀到抽象采取分類(lèi)策略．
（Ⅲ）本問(wèn)利用（2）的結(jié)論容易求解，需要注意的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想重新在本問(wèn)中的體現(xiàn)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f₂（x）=|3^x-9|．
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，log₃5）時(shí)，f₁（x）=3^x-1，f₂（x）=9-3^x，
且f₁（x）-f₂（x）=2•3^x-10＜2•3^log₃5-10=2•5-10=0，
所以當(dāng)x∈（0，log₃5）時(shí)，f（x）=3^x-1，且1∈（0，log₃5）（3分）
由于f'（x）=3^xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切線方程為y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）

（Ⅱ）因?yàn)?≤a＜9，所以0＜log3

9

a

≤log3

9

2

，則
①當(dāng)x≥log3

9

a

時(shí)，因?yàn)閍•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，解得x≤log3

8

a-1

，
從而當(dāng)log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

時(shí)，f（x）=f₂（x）（6分）
②當(dāng)0≤x＜log3

9

a

時(shí)，因?yàn)閍•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，解得x≥log3

10

a+1

，
從而當(dāng)log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

時(shí)，f（x）=f₂（x）（7分）
③當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)閒₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
從而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]時(shí)，f（x）=f₂（x），
故l=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]（9分）
從而當(dāng)a=2時(shí)，l取得最大值為log3

12

5

（10分）

（Ⅲ）“當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=f₂（x）”
等價(jià)于“f₂（x）≤f₁（x）對(duì)x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）對(duì)x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①當(dāng)a≥1時(shí)，log3

9

a

≤2，則當(dāng)x≥2時(shí)，a•3x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，
則（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而當(dāng)x≥2時(shí)，1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，從而a=1適合題意（12分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log3

9

a

＞2．
（1）當(dāng)x＞log3

9

a

時(shí)，（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，此時(shí)要求0＜a＜1（（13分）
（2）當(dāng)x=log3

9

a

時(shí)，（*）可化為0≤3x-1=

9

a

-1，
此時(shí)只要求0＜a＜9（14分）
（3）當(dāng)2≤x＜log3

9

a

時(shí)，（*）可化為9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
所以a≥

1

9

，此時(shí)要求

1

9

≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得

1

9

≤a＜1符合題意要求．
綜合①②知，滿足題意的a存在，且a的取值范圍是

1

9

≤a≤1（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的有關(guān)概念，函數(shù)求值的問(wèn)題；對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念亦有所考查，含參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，注重對(duì)分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想的考查，考查了對(duì)近年來(lái)高考真題中出現(xiàn)的有關(guān)恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題的求解策略，對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合性解題能力有很高的要求，屬于壓軸題的題目難度．本題的求解策略是細(xì)讀題意，精確分析采取有難到易，各點(diǎn)擊破的思想，同時(shí)注意解題思想的應(yīng)用．