Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，則數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，a6=a1q5=eb6=e¹²，從而得到a_n=e^24-2n，b_n=24-2n，由此能求出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，
數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，
∴a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，
a6=a1q5=eb6=e¹²，
∴

a6

a3

=q³=

e12

e18

=e^-6，
解得q=e^-2，a₁=

a3

q2

=

e18

e-4

=e²²，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為an=e22•(e-2)n-1=e^24-2n，
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n，
bn=lne24-2n=24-2n，
當(dāng)n=12時(shí)，b_n=0
則當(dāng)n≥12時(shí)，b_n＜0
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n取最大值時(shí)，n=12，
∴S_n的最大值是S₁₂=

12

2

(b1+b12)=6（24-2+24-24）=132．
故答案為：132．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．