Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60°角，M，N分別是線段AC和BF上的點，且AM=FN，則線段MN的長的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：設AM=FN=a（0≤a≤2

2

），則MP=

2

2

a，PN=2-

2

2

a，由余弦定理，表示出MN，即可得出結論．

解答： 解：過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN，則∠MPN=60°
設AM=FN=a（0≤a≤2

2

），則MP=

2

2

a，PN=2-

2

2

a．
由余弦定理知：MN²=（

2

2

a）²+（2-

2

2

a）²-2×

2

2

a×（2-

2

2

a）×

1

2

=

3

2

(a-

2

)2+1
∵0≤a≤2

2

，∴1≤MN≤2．
故答案為：1≤MN≤2．

點評：關鍵是將空間兩點間的距離表示成a的函數(shù)，進而轉化成求函數(shù)最值的問題．