Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

，

．

其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．

（Ⅰ）若，，試寫出，的表達(dá)式；

（Ⅱ）已知函數(shù)，，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】（Ⅰ）由題意可得:

    ,                                                              ………………………1分

   .                                                                     ………………………2分

（Ⅱ）,                                                                  ………………………3分

  ,                                                                   ………………………4分

,                                                      ………………………5分

當(dāng)時(shí)，,;

當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，                                                                                  ………………………6分

即存在，使得是上的4階收縮函數(shù).                                  ………………………7分

（Ⅲ）,令得或.                                                       

函數(shù)的變化情況如下：

 

令，解得或3.                                                                  ………………………8分

ⅰ）時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017314546872829/SYS201205201734225781929791_DA.files/image033.png">是上的2階收縮函數(shù)，

所以，①對(duì)恒成立；

②存在，使得成立.                    ………………………9分

①即：對(duì)恒成立，

由，解得：或，

要使對(duì)恒成立，需且只需.               .………………………10分

②即：存在，使得成立.

由得：或，

所以，需且只需.

綜合①②可得：.                                                               .………………………11分

ⅱ）當(dāng)時(shí)，顯然有，由于在上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得：

，，

可得 ，                                 

此時(shí)，不成立.                                                      .………………………13分

綜合�。�ⅱ）可得：.                 

注：在ⅱ）中只要取區(qū)間（1，2）內(nèi)的一個(gè)數(shù)來構(gòu)造反例均可，這里用只是因?yàn)楹?jiǎn)單而已.