(2010•江蘇模擬)已知直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1.試證明當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與圓O恒相交;并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍.
分析:(1)可將直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)改寫為(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0由于k∈R故
x-2y-3=0
4x+3y-12=0
x=3
y=0
即F(3,0)然后再根據(jù)題中條件即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)要證明當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與圓O恒相交只需證明圓心O到直線l:mx+ny=1的距離d=
1
m2+n2
小于圓O:x2+y2=1的半徑1.而要求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍可利用圓中的弦長公式求出弦長的表達(dá)式再結(jié)合參數(shù)的取值范圍即可得解.
解答:解:(1)由(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)可得(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0
x-2y-3=0
4x+3y-12=0

∴F(3,0)
設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),則
c=3
a+c=8
a2=b2+c2

a=5
b=4
c=3

∴橢圓C的方程為
x2
25
+
y2
16
=1
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng),所以1=
m2
25
+
n2
16
<m2+n2
∴圓心O到直線l:mx+ny=1的距離d=
1
m2+n2
<1=r
∴直線l與圓O恒相交
又∵直線l被圓O截得的弦長為L=2
r2-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
1
9
25
m2 +16

∵0≤m2≤25
∴16≤16+
9
25
m2≤25
∴L∈[
15
2
4
6
5
]
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是L∈[
15
2
,
4
6
5
]
點(diǎn)評:本題主要考察了直線與圓錐曲線的綜合.解題的關(guān)鍵是第一問要會求直線(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(k∈R)經(jīng)過的定點(diǎn)和理解橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為a+c,而對于第二問理解圓心到直線的距離與半徑大小的關(guān)系與直線與圓位置關(guān)系的判定以及圓中半徑,圓心到直線的距離,弦長的一半滿足勾股定理!
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇模擬)某學(xué)生對函數(shù)f(x)=2x•cosx的性質(zhì)進(jìn)行研究,得出如下的結(jié)論:
①函數(shù)f(x)在[-π,0]上單調(diào)遞增,在[0,π]上單調(diào)遞減;
②點(diǎn)(
π2
,0)
是函數(shù)y=f(x)圖象的一個(gè)對稱中心;
③函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=π對稱;
④存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立.
其中正確的結(jié)論是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇模擬)將復(fù)數(shù)
1+2i
3+i3
表示為a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)的形式為
1
10
+
7
10
i
1
10
+
7
10
i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇模擬)在標(biāo)有數(shù)字1,2,3…,10,11,12的12張大小相同的卡片中,依次取出不同的三張卡片它們的數(shù)字和恰好是3的倍數(shù)的概率是
19
55
19
55

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇模擬)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足
x-y-2≤0
x+2y-5≥0
y-2≤0
u=
y2-x2
xy
的取值范圍是
[-
8
3
,
3
2
]
[-
8
3
,
3
2
]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案