Question

4．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問何日相逢，各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半”如果墻足夠厚，S_n為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則S₅=（　　）

• A． $31\frac{15}{16}$
• B． $32\frac{15}{16}$
• C． $33\frac{15}{16}$
• D． $26\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；小老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
前n天打洞之和為$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
同理，小老鼠每天打洞的距離$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=2ⁿ-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S₅=2⁵+1-$\frac{1}{{2}^{4}}$=32$\frac{15}{16}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．