Question

（本題滿分12分）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三邊長(zhǎng)AC，BC，AB滿足勾股定理則AC⊥BC，又側(cè)棱垂直于底面ABC，則CC₁⊥AC，又BC∩CC₁=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥面BCC₁，又BC₁⊂平面BCC₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥BC₁．

（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，根據(jù)D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，可知DE∥AC₁，而DE⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；

（3）利用線面垂直得到幾何體的高，進(jìn)而求解體積。

解：（1）證明：在中，

為，

…………………1分

又底面，底面，

……………………2分

平面

平面，……………………………………………………3分

而平面，

………………………………………………………………4分

（2）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)

直三棱柱

四邊形是平行四邊形，是的中點(diǎn)……………………………5分

又是的中點(diǎn)，………………………………………………6分

而平面，平面，………………………………………7分

平面.………………………………………………8分

（3）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.

在中，………………………………9分

又直三棱柱

平面平面，而

平面平面平面

平面，即是三棱錐的高，…………………………11分

又………………………………………12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了空間幾何體中線線垂直的證明，以及線面平行判定定理的熟練運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)線面垂直的判定定理得到線線垂直，以及運(yùn)用線面平行判定定理證明線面平行。同時(shí)結(jié)合前兩問(wèn)的結(jié)論，作出幾何體的高。