Question

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量p（L）關(guān)于行駛速度v（km/h）的函數(shù)解析式可以表示為：（{0＜v≤120}）．已知甲、乙兩地相距100km，設(shè)汽車的行駛速度為x（km/h），從甲地到乙地所需時間為t（h），耗油量為y（L）．
（1）求函數(shù)t=g（x）及y=f（x）；
（2）求當(dāng)x為多少時，y取得最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

解：（1）從甲地到乙地汽車的行駛時間為：，
則耗油量=．
（2）對y求導(dǎo)，得，由y'=0，得x=80，列出下表：

x	（0，80）	80	（80，120）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值11.25	↗

所以，當(dāng)x=80時，y取得極小值也是最小值11.25．
答：當(dāng)汽車的行駛速度為80km/h時，耗油量最少，為11.25L．
分析：（1）汽車行駛的時間函數(shù)t=g（x）=；耗油量函數(shù)y=f（x）=每小時耗油量p×函數(shù)t，代入數(shù)據(jù)整理即可．
（2）對y求導(dǎo)，得y^′，令y'=0，得x的值，由導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)與函數(shù)增減性的關(guān)系求得y的最小值．
點評：本題利用求導(dǎo)數(shù)的方法考查了函數(shù)的增減性和最值問題：當(dāng)f'（x）＜0時，f（x）在這一區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)f'（x）＞0時，f（x）在這一區(qū)間上是增函數(shù)．