【題目】（本小題滿分14分）一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．

【解析】

（Ⅰ）因為，當(dāng)在x軸上時，等號成立；同理，當(dāng)重合，即軸時，等號成立． 所以橢圓C的中心為原點，長半軸長為，短半軸長為，其方程為

（Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為或，都有．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線， 由消去，可得．因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即． ①

又由可得；同理可得．由原點到直線的距離為和，可得

． ②

將①代入②得，． 當(dāng)時，；當(dāng)時，．因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以當(dāng)時，的最小值為8．

綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠每年定期對職工進行培訓(xùn)以提高工人的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力是指一天加工的零件數(shù)）．現(xiàn)有、兩類培訓(xùn)，為了比較哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，工廠決定從同一車間隨機抽取100名工人平均分成兩個小組分別參加這兩類培訓(xùn)．培訓(xùn)后測試各組工人的生產(chǎn)能力得到如下頻率分布直方圖．

（1）記表示事件“參加類培訓(xùn)工人的生產(chǎn)能力不低于130件”，估計事件的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與培訓(xùn)類有關(guān)：

生產(chǎn)能力件

生產(chǎn)能力件

總計

類培訓(xùn)

50

類培訓(xùn)

50

總計

100

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，判斷哪類培訓(xùn)更有利于提高工人的生產(chǎn)能力，請說明理由．

參考數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過點與曲線交于不同兩點，的中點為，與的交點為，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，D，E分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）線段上是否存在點F，使平面？若存在，求的值：若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù) (萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量 (袋)，得到如下統(tǒng)計表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數(shù) (萬人)

13

9

8

10

12

原材料 (袋)

32

23

18

24

28

（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程.

（2）已知購買原材料的費用 (元)與數(shù)量 (袋)的關(guān)系為，

投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤銷售收入原材料費用).

參考公式： ， .

參考數(shù)據(jù)： ， ， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，下頂點為，為坐標(biāo)原點，點到直線的距離為，為等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點，為拋物線上一點，若，求的值．

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