9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=$\frac{1}{2}$${a}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$an,n∈N*.正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足:b2=a2,b4=a6
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=2k-1}\\{_{n},n=2k(k∈{N}^{*})}\end{array}\right.$,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求所有正整數(shù)m的值,使得$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{2n-1}}$恰好為數(shù)列{cn}中的項(xiàng).

分析 (1)利用遞推式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)由題意得cn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=2k-1}\\{_{n},n=2k(k∈{N}^{*})}\end{array}\right.$,可得T2m=(a1+a3+…+a2m-1)+(b2+b4+…+b2m)=3m+m2-1.T2m-1=T2m-b2m=3m-1+m2-1,可得$\frac{{T}_{2m}}{{T}_{2m-1}}$≤3,故若使得$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{2n-1}}$恰好為數(shù)列{cn}中的項(xiàng),只能為c1,c2,c3.分類討論即可得出.

解答 解:(1)∵an>0,當(dāng)n=1時(shí),a1=$\frac{1}{2}{a}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{a}_{1}$,解得a1=1.
由Sn=$\frac{1}{2}$${a}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$an
當(dāng)n≥2,Sn-1=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}$,
兩式相減,得$\frac{1}{2}({a}_{n}+{a}_{n-1})({a}_{n}-{a}_{n-1}-1)$=0.
又∵an>0,∴an+an-1≠0,
∴an-an-1=1,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為1,
∴an=1+(n-1)=n.
由b2=a2,b4=a6
∴q2=$\frac{_{4}}{_{2}}$=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=3,q>0.
∴q=$\sqrt{3}$,
∴bn=$_{2}{q}^{n-2}$=$2(\sqrt{3})^{n-2}$.
(2)由題意得cn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n=2k-1}\\{_{n},n=2k(k∈{N}^{*})}\end{array}\right.$,
∴T2m=(a1+a3+…+a2m-1)+(b2+b4+…+b2m
=$\frac{m(1+2m-1)}{2}$+$\frac{2({3}^{m}-1)}{3-1}$
=3m+m2-1.
T2m-1=T2m-b2m=3m+m2-1-2×3m-1=3m-1+m2-1,
∴$\frac{{T}_{2m}}{{T}_{2m-1}}$=$\frac{{3}^{m}+{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=3-$\frac{2({m}^{2}-1)}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$≤3,
故若使得$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{2n-1}}$恰好為數(shù)列{cn}中的項(xiàng),只能為c1,c2,c3
(i)若3-$\frac{2({m}^{2}-1)}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=1,則3m-1=0,∴m無(wú)解.
(ii)若3-$\frac{2({m}^{2}-1)}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=2,可得3m-1+1-m2=0,
顯然m=1不符合題意,m=2符合題意.
當(dāng)m≥3時(shí),即f(m)=3m-1+1-m2,則f′(m)=3m-1ln3-2m,
設(shè)g(m)=3m-1ln3-2m,則g′(m)=3m-1(ln3)2-2>0,
即f′(m)為增函數(shù),故f′(m)≥f′(3)>0,即f(m)為增函數(shù),
故f(m)>f(3)=1>0,
故當(dāng)m≥3時(shí),方程3m-1+1-m2=0無(wú)解,即m=2是方程唯一解.
(iii)若3-$\frac{2({m}^{2}-1)}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=3,則m2=1,即m=1.
綜上所述:m=1或m=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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