Question

已知函數f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，其中a＞0．
（Ⅰ）對?x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，求正數a的取值范圍．
（Ⅱ）對?x₁∈[-1，2]，?x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），求正數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據對?x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，即h（x）=f（x）-g（x）-2=x²-（2+a）x-4＜0對任意x∈[-1，2]恒成立，只需成立，解此不等式組即可求得正數a的取值范圍；
（Ⅱ）先求出兩個函數在[-1，2]上的值域分別為A、B，再根據對任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），集合A是集合B的子集，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍，注意條件a＞0．
解答：解：（I）由題意，h（x）=f（x）-g（x）-2=x²-（2+a）x-4＜0對任意x∈[-1，2]恒成立，
只需成立，故0＜a＜1．
（II）當a＞0時，g（x）=ax+2在[-1，2]上的值域A=[2-a，2+2a]，
f（x）=x²-2x在[-1，2]上的值域B=[-1，3]，
由題意，A⊆B，得．
點評：此題是個中檔題．考查函數的值域，難點是題意的理解與轉化，體現了轉化的思想．同時也考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．