Question

13．拋物線C：y²=2x的準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{1}{2}$，經(jīng)過點(diǎn)P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則$|{\overrightarrow{AF}}|+|{\overrightarrow{BF}}|$=9．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義把|AF|+|BF|轉(zhuǎn)化為|AM|+|BN|，再轉(zhuǎn)化為2|PK|，從而得出結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y²=2x的準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{1}{2}$，它的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0）．
過A作AM⊥直線l，BN⊥直線l，PK⊥直線l，M、N、K分別為垂足，
則由拋物線的定義可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．
再根據(jù)P為線段AB的中點(diǎn)，$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=|PK|=$\frac{9}{2}$，∴|AF|+|BF|=9，
故答案為：$x=-\frac{1}{2}；9$．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的定義性值以及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．