Question

（Ⅰ）設(shè)集合A={1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素和的和．
（Ⅱ）已知集合A={-4，2a-1，a²}，B={a-1，1-a，9}，已知A∩B={9}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（Ⅰ）先計(jì)算出包含元素1的集合：剩下的9個(gè)元素組成的集合含有2⁹個(gè)子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了2⁹次，從而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
（Ⅱ）由交集的運(yùn)算和題意列出方程，求出a的值，再代入集合驗(yàn)證條件和元素的互異性．

解答： 解：（Ⅰ）由10個(gè)元素組成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰個(gè)．
先計(jì)算出包含元素1的集合：剩下的9個(gè)元素組成的集合含有2⁹個(gè)子集，
在集合M的所有非空子集中，元素1出現(xiàn)了2⁹次，
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和為：（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹=28160；
（Ⅱ）因?yàn)锳∩B={9}，A={-4，2a-1，a²}，B={a-1，1-a，9}，
所以2a-1=9或a²=9，
解得：a=5或±3
當(dāng)a=5時(shí)，1-a=-4，
當(dāng)a=-3時(shí)，a-1=-4，不滿足A∩B={9}，
所以a≠5且a≠-3，
而當(dāng)a=3時(shí)，A={-4，5，9}、B={-2，2，9}，滿足題意．
∴實(shí)數(shù)a的值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，子集與真子集、數(shù)列求和，以及交集的運(yùn)算，注意驗(yàn)證條件和元素的互異性，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．