如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東北方OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在AO上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10千米，問把A、B分別設(shè)在公路中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短，并求其最短距離.

解:設(shè)AO=a,OB=b.

∵AO在正西方向,OB在東北方向,

∴∠AOB=135°,|AB|2=a2+b2+ab≥(2+)ab,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)

又O到AB的距離為10,設(shè)∠OAB=α,

則∠OBA=45°-α.

∴a=,b=,

ab=

=≥,

(α=22°30′,且α≠b時(shí),等號(hào)成立).

∴|AB|2≥=400(+1)2,

因此當(dāng)a=b==10時(shí),|AB|最小,其最短距離為20(+1)千米.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北O(jiān)B，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，設(shè)地鐵在AB部分的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立關(guān)系式：
（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示為α的函數(shù)；
（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求出最短距離．

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（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求出最短距離．

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