Question

【坐標(biāo)系與參數(shù)方程】設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=2+t y=2t

（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

8cosθ

sin2θ

．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,兩點(diǎn)間的距離公式,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由ρ=

8cosθ

sin2θ

得 ρ²sin²θ=8ρcosθ，故有y²=8x，故曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的拋物線．
（2）

x=2+t y=2t

代入y²=8x求得 t1+t2=2

5

，t₁•t₂=-20，由此求得|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4 t1•t2

的值．

解答： 解：（1）由ρ=

8cosθ

sin2θ

 得ρsin²θ=8cosθ，∴ρ²sin²θ=8ρcosθ，∴y²=8x，
∴曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的拋物線．
（2）

x=2+t y=2t

 代入y²=8x得 t²-2

5

t-20=0，∴t1+t2=2

5

，t₁•t₂=-20，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4 t1•t2

=10．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)的幾何意義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．