Question

設曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、 y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C1。

    (1)寫出曲線C1的方程；

    (2)證明曲線C與C₁關于點A（）對稱。

   （3如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明S=且t≠0。

Answer 1

答案：
解析：

(1)曲線C1的方程為     y＝(x－t)3－(x－t)＋s。 (2)證明  在曲線C上任取一點B1(x1，y1)。設B2(x2，y2)是B1關于A的對稱點，則有     。     ∴x1＝t－x2，y1=S－y2代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：     s－y2＝(t－x2)3－(t－x2)，     即    y2＝(x2－t)3－(x2－t)＋s。     可知點B2(x2，y2)在曲線C1上。     反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上。     因此，曲線C與C1關于點A對稱。  (3)證明  因為曲線C與C1有且僅有一個公共點，所以，方程組         有且僅有一組解     消去y，整理得     3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0，     這個關于x的一元二次方程組有且僅有一個根。     所以t≠0并且其根的判別式     △＝9t4－12t(t3－t－s)＝0     即     ∴s＝－t且t≠0。