精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行
四邊形,DC⊥平面ABC,AB=2,已知AE與平面ABC所成的角為θ,
tanθ=
3
2

(1)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(2)記AC=x,V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,求V(x)的表達(dá)式;
(3)當(dāng)V(x)取得最大值時,求二面角D-AB-C的大。
分析:(1)欲證平面ACD⊥平面ADE,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACD垂直,DE⊥平面ADC,DE?平面ADE,滿足定理所需條件;
(2)根據(jù)線面所成角的定義可知∠EAB為AE與平面ABC所成的角,在Rt△ABE中,求出BE,在Rt△ABC中求出AC,最后根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積即可;
(3)利用基本不等式可知當(dāng)V(x)取得最大值時AC=
2
,這時△ACB為等腰直角三角形,連接CO,DO,根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠DOC為二面角D-AB-C的平面角在Rt△DCO中求出此角即可.
解答:解:(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE,BC∥DE(1分)
∵DC⊥平面ABC,BC?平面ABC∴DC⊥BC.(2分)
∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC且DC∩AC=C
∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC(3分)
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE(4分)
(2)∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC
∴∠EAB為AE與平面ABC所成的角,即∠EAB=θ(5分)
在Rt△ABE中,由tanθ=
BE
AB
=
3
2
,AB=2得BE=
3
(6分)
在Rt△ABC中∵BC=
AB2-AC2
=
4-x2
(0<x<2)
S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
x
4-x2
(7分)
V(x)=VC-ABE=VE-ABC=
1
3
S△ABC•BE
=
3
6
x
4-x2
(0<x<2)(8分)
(3)由(2)知0<x<2
要V(x)取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)x
4-x2
=
x2(4-x2)
取得最大值,
x2(4-x2)≤(
x2+4-x2
2
)2=4
(9分)
當(dāng)且僅當(dāng)x2=4-x2,即x=
2
時,“=”成立,
∴當(dāng)V(x)取得最大值時AC=
2
,這時△ACB為等腰直角三角形(10分)
連接CO,DO精英家教網(wǎng)
∵AC=BC,DC=DC
∴Rt△DCA≌Rt△DCB∴AD=DB
又∵O為AB的中點(diǎn)∴CO⊥AB,DO⊥AB
∴∠DOC為二面角D-AB-C的平面角(12分)
在Rt△DCO中∵CO=
1
2
AB=1
DC=BE=
3

tan∠DOC=
DC
CO
=
3
,∴∠DOC=60°
即當(dāng)V(x)取得最大值時,二面角D-AB-C為60°.(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查了平面與平面垂直的判定,以及體積和二面角的定理等有關(guān)知識,求二面角,關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角,然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,AB=2,BC=1,設(shè)AE與平面ABC所成的角為θ,且tanθ=
3
2
,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC.
(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE?證明你的結(jié)論.

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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,直線MN切⊙O于點(diǎn)C,BE∥MN交AC于點(diǎn)E.若AB=6,BC=4,求AE的長.

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3
2

(1)求三棱錐C-ABE的體積;
(2)證明:平面ACD⊥平面ADE;
(3)在CD上是否存在一點(diǎn)M,使得MO∥平面ADE,證明你的結(jié)論.

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(2013•沈陽二模)選修4-1:幾何證明選講
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(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果弦CD交AB于點(diǎn)E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求直徑AB的長.

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