Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x．
（1）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)二倍角公式化簡函數(shù)解析式：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，然后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解；
（2）直接根據(jù)x∈[

π

4

，

π

2

]，得到∴（2x-

π

3

）∈[

π

6

，

2π

3

]，從而得到f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（3）根據(jù)|f（x）-m|＜2，得到m-2＜f（x）＜m+2，然后根據(jù)恒成立問題，得到

m+2＞3 m-2＜2

，從而得到實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=sin2x-

3

cos2x+1
=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x∈[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]  （k∈Z）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x∈[

π

2

，π]，
∴（2x-

π

3

）∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2sin（2x-

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[2，3]，
∴f（x）值域是[2，3]
（3）∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2，
∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m+2＞3 m-2＜2

，
∴1＜m＜4，
∴實數(shù)m的取值范圍是1＜m＜4．

點評：本題綜合考查了三角公式、三角恒等變換公式、恒成立問題、二倍角公式等知識，屬于中檔題．