Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=2，如圖1，將△ABC置于坐標(biāo)系中，使BC邊落在y 軸正半軸上，點(diǎn)B位于原點(diǎn)處，點(diǎn)A位于第一象限．將頂點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上向右、向下滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與原點(diǎn)重合時(shí)停止滑動(dòng)．
（Ⅰ）①如圖2，若AC=2，B點(diǎn)右滑的距離OB是1，求C點(diǎn)下滑的距離和AC所在的直線解析式；②如圖2，點(diǎn)C繼續(xù)滑動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)，C點(diǎn)下滑距離CN與B點(diǎn)右滑距離BM相等；
（Ⅱ）如圖3，在滑動(dòng)的過(guò)程中BC的中點(diǎn)P也隨之移動(dòng)，求整個(gè)過(guò)程中P點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)度；
（Ⅲ）若AC=
34
，求滑動(dòng)的過(guò)程中A到原點(diǎn)O的最大距離以及此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)．
精英家教網(wǎng)
分析：（1）①Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC=
BC2-OB2
=
3
，可得C點(diǎn)下滑的距離為2-
3
．利用三角函數(shù)的定義算出∠CBO=∠ACy=60°，得到AC的傾斜角為30°，所以AC的斜率為
3
3
，進(jìn)而可得AC所在直線的解析式；
②根據(jù)△OBC與△ONM全等，算出ON=OB=1，從而得出CN=
3
-1，所以繼續(xù)滑動(dòng)的距離為
3
-1時(shí)，可使CN=BM；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OP=
1
2
BC=1，從而得到點(diǎn)P在以O(shè)為圓心、半徑r=1的圓上運(yùn)動(dòng)，由此可得P點(diǎn)的移動(dòng)路徑是圓心角為直角的圓弧，利用弧長(zhǎng)公式即可算出移動(dòng)路徑的長(zhǎng)度；
（3）利用勾股定理算出AP=
5
4
，結(jié)合OP=
1
2
BC=1，可得當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離距離為OP+PA=
9
4
達(dá)到最大值．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)算出OH=3AH，在Rt△OHA中利用勾股定理算出AH、OH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)．
解答：解：（1）①如圖2，Rt△OBC中，BC=2，OB=1，
根據(jù)勾股定理，得OC=
BC2-OB2
=
3
，
∴C點(diǎn)下滑的距離d=2-
3
，
又∵Rt△OBC中，tan∠CBO=
OC
OB
=
3
，
∴∠CBO=∠ACy=60°，
可得直線AC的傾斜角為90°-60°=30°，AC的斜率為k=tan30°=
3
3
．
∵直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，
3
）
∴AC所在的直線解析式為：y=
3
3
x+
3
；
②當(dāng)C點(diǎn)下滑距離CN與B點(diǎn)右滑距離BM相等時(shí)，△OBC≌△ONM，
此時(shí)∠CBO=∠MNO=60°，可得ON=OB=1，
∴CN=CO-ON=
3
-1，
即繼續(xù)滑動(dòng)
3
-1時(shí)，可使C點(diǎn)下滑距離CN與B點(diǎn)右滑距離BM相等；　　　　　　　　　　
（2）連接OP，則Rt△OBC中，OP是斜邊BC上的中線，
∴OP=
1
2
BC=1，可得點(diǎn)P在以O(shè)為圓心、半徑r=1的圓上運(yùn)動(dòng)．
由此可得：P點(diǎn)的移動(dòng)路徑是以O(shè)為圓心、圓心角等于90°的弧，
其長(zhǎng)度為L(zhǎng)=
90πr
180
=
π
2
；
（3）∵Rt△ACP中，AC=
3
4
，PC=
1
2
BC=1，
∴AP=
AC2+PC2
=
(
3
4
)2+12
=
5
4
；
又∵OP=
1
2
BC=1，OP、AP都是定長(zhǎng)
∴當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，A到原點(diǎn)O的距離最大．最大距離為OP+PA=1+
5
4
=
9
4
，精英家教網(wǎng)
過(guò)A作AH⊥y軸，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，
∵AD∥OB，∴△POB∽△PAD，結(jié)合PB=OP得PD=AP=
5
4

由此可得DC=PD-CP=
5
4
-1=
1
4
，
又∵Rt△ACD∽R(shí)t△OHA，AC=
3
4
，
∴
AH
OH
=
DC
AC
=
1
3
，
∵OA=
9
4
，∴OH=3AH，
又∵Rt△OHA中，OA=
OH2+AH2
=
9
4
，
∴AH=
9
40
10
，OH=
27
40
10
，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)（
9
40
10
，
27
40
10
）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形在坐標(biāo)系內(nèi)滑動(dòng)的模型，求滑動(dòng)的過(guò)程中A到原點(diǎn)O的最大距離以及此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)．著重考查了直線的基本量與基本形式、勾股定理與相似三角形、弧長(zhǎng)公式與動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓于點(diǎn)E．
（1）判斷線段AE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）若過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓記為⊙O，過(guò)E點(diǎn)作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且CD：CF=1：2，求：cosF的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是△ABC內(nèi)切圓圓心，設(shè)P是⊙D外的三角形ABC區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若
CP
=λ
CA
+μ
CB
，則點(diǎn)（λ，μ）所在區(qū)域的面積為
1
2
-（
3
2
-
2
）π
1
2
-（
3
2
-
2
）π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線BBl∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞
35
時(shí)，連接C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.現(xiàn)將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△A1B1C1位置,已知AA1=2,分別取A1B1、A1A的中點(diǎn)P、Q.

(1)求的長(zhǎng);

(2)求cos〈〉,cos〈〉,并比較〈〉與〈〉的大小;

(3)求證:AB1⊥C1P.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知Rt△ABC中,AC⊥BC,且BC邊所在直線的方程是2x+3y-6=0,頂點(diǎn)A(5,4),求AC所在的直線方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案