設函數,.
(Ⅰ)若,求的極小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結論下,是否存在實常數和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,說明理由.
(Ⅲ)設有兩個零點,且成等差數列,試探究值的符號.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在這樣的k和m,且;(Ⅲ)的符號為正.
解析試題分析:(Ⅰ)首先由,得到關于的兩個方程,從而求出,這樣就可得到 的表達式,根據它的特點可想到用導數的方法求出的極小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中所求的和,易得到它們有一個公共的點,且和在這個點處有相同的切線,這樣就可將問題轉化為證明和分別在這條切線的上方和下方,兩線的上下方可轉化為函數與0的大小,即證和成立,從而得到和的值; (Ⅲ)由已知易得,由零點的意義,可得到關于兩個方程,根據結構特征將兩式相減,得到關于的關系式,又對求導,進而得到,結合上面關系可化簡得:,針對特征將當作一個整體,可轉化為關于 的函數,對其求導分析得,恒成立.
試題解析:解:(Ⅰ)由,得,解得 2分
則=,
利用導數方法可得的極小值為 5分
(Ⅱ)因與有一個公共點,而函數在點的切線方程為,
下面驗證都成立即可 7分
由,得,知恒成立 8分
設,即,易知其在上遞增,在上遞減,
所以的最大值為,所以恒成立.
故存在這樣的k和m,且 10分
(Ⅲ)的符號為正. 理由為:因為有兩個零點,則有
,兩式相減得 12分
即,于是
14分
①當時,令,則,且.
設,則,則在
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知二次函數h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其導函數的圖象如圖,f(x)=6lnx+h(x)
(1)求f(x)在x=3處的切線斜率;
(2)若f(x)在區(qū)間(m,m+)上是單調函數,求實數m的取值范圍;
(3)若對任意k∈[-1,1],函數y=kx(x∈(0,6])的圖象總在函數y=f(x)圖象的上方,求c的取值范圍
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數,是大于零的常數.
(Ⅰ)當時,求的極值;
(Ⅱ)若函數在區(qū)間上為單調遞增,求實數的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線上存在一點,使得曲線上總有兩點,且成立.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設函數.
(1)當,時,求函數的最大值;
(2)令,其圖象上存在一點,使此處切線的斜率,求實數的取值范圍;
(3)當,時,方程有唯一實數解,求正數的值.
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