Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為．記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用封閉圖形的面積為，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為，求出a、b的值，待定系數(shù)法寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（1）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx，代入橢圓的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|²=λ²|OA|²，得到|MO|²．再用k表示直線l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|² 的式子，消去k得到
M的軌跡方程．當(dāng)k=0或不存在時(shí)，軌跡方程仍成立．
（2）當(dāng)k存在且k≠0時(shí)，由（1）得，，同理求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的平方、縱坐標(biāo)的平方，
計(jì)算出AB的平方，計(jì)算出|MO|²，可求出三角形面積的平方，使用基本不等式求出面積的最小值，再求出當(dāng)k不存在
及k=0時(shí)三角形的面積，比較可得面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得 ，又a＞b＞0，解得  a²=5，b²=4．
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為    ．
（Ⅱ）（1）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程組得，，
所以．
設(shè)M（x，y），由題意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即，
因?yàn)閘是AB的垂直平分線，所以直線l的方程為，即，
因此，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故．
又當(dāng)k=0或不存在時(shí)，上式仍然成立．
綜上所述，M的軌跡方程為．
（2）當(dāng)k存在且k≠0時(shí)，由（1）得，，
由
解得，，
所以，，．
由于===，
當(dāng)且僅當(dāng)4+5k²=5+4k²時(shí)等號(hào)成立，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)△AMB面積的最小值是．
當(dāng)k=0，．
當(dāng)k不存在時(shí)，．
綜上所述，△AMB的面積的最小值為．
點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)法求軌跡方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用．