Question

已知函數(shù)f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，則f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個(gè)式子的取值范圍由k-1的符號(hào)決定，故分為三類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論k轉(zhuǎn)化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)k 的取值范圍．

解答：解：因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

（t≥3），
當(dāng)k-1＞0，即k＞1時(shí)，該函數(shù)在[3，+∞）上單調(diào)遞減，則y∈（1，

k+2

3

]，
當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，y∈{1}，
當(dāng)k-1＜0，即k＜1時(shí)，該函數(shù)在[3，+∞）上單調(diào)遞增，y∈[

k+2

3

，1），
當(dāng)k＞1時(shí)，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
綜上所述：-

1

2

≤k≤4．
故答案為：-

1

2

≤k≤4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，屬于難題．