Question

如圖3-2，鐵路線上AB段長(zhǎng)100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點(diǎn)D處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運(yùn)費(fèi)與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3∶5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最少，D點(diǎn)應(yīng)選在何處?

   

Answer 1

思路分析：據(jù)題設(shè)知，單位距離的公路運(yùn)費(fèi)大于鐵路運(yùn)費(fèi)，又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|，因此只有點(diǎn)D選在線段BA上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省.若設(shè)D點(diǎn)距A點(diǎn)x千米，從B到C的總動(dòng)費(fèi)為y，建立y與x的函數(shù)，則通過(guò)函數(shù)y=f(x)的最小值，可確定點(diǎn)D的位置.

    解：設(shè)|DA|=x(千米)，鐵路每噸千米運(yùn)費(fèi)3a，公路每噸千米運(yùn)費(fèi)5a，從B到C的總費(fèi)用為y，則依題意，得

    y=3a(100-x)+5a，x∈(0，100)，

    即=5-3x.

    令t=，則有t+3x=5.

    平方、整理，得16x²-6tx+10000-t²=0.①

    由①36t²-4×16(10000-t²)≥0，得|t|≥80.

    ∵t＞0，∴t≥80.

    將t=80代入方程①，得x=15，這時(shí)t最小，y也最小.

    故當(dāng)D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省.