Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，直線l：y=

1

2

x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=2

5

，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．
（1）求a，b的值；
（2）求證：直線MN的斜率為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據橢圓的幾何性質，利用離心率e以及AB的長，求出a、b的值；
（2）方法一：結合橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：
①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，利用斜率的關系，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出M、N的坐標，計算k_MN的值；
②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N的坐標，計算k_MN的值；從而得出正確的結論．
方法二：利用橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：
①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設出直線的斜率，由直線與橢圓聯(lián)立，求出M、N點的坐標，計算k_MN的值；
②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N點的坐標，計算k_MN的值，即可得出正確的結論．

解答： 解：（1）因為e=

c

a

=

2

2

，所以c²=

1

2

a²，即a²-b²=

1

2

a²，所以a²=2b²；…（2分）
故橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1；
由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限，
由

y= 1 2 x x2 2b2 + y2 b2 =1

解得A（

2 3

3

b，

3

3

b）；
又AB=2

5

，所以OA=

5

，即

4

3

b²+

1

3

b²=5，解得b²=3；
故a=

6

，b=

3

；    …（5分）
（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為

x2

6

+

y2

3

=1，從而A（2，1），B（-2，-1）；
①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k₁，k₂，C（x₀，y₀），
顯然k₁≠k₂；
從而k₁•k_CB=

y0-1

x0-2

•

y0+1

x0+2

=

y02-1

x02-4

=

3(1- x02 6 )-1

x02-4

=

2- x02 2

x02-4

=-

1

2

，
所以k_CB=-

1

2k1

；                                    …（8分）
同理k_DB=-

1

2k2

，
于是直線AD的方程為y-1=k₂（x-2），直線BC的方程為y+1=-

1

2k1

（x+2）；
由

y+1=- 1 2k1 (x+2) y-1=k2(x-2)

解得

x= 4k1k2-4k1-2 2k1k2+1 y= -2k1k2-4k2+1 2k1k2+1

；
從而點N的坐標為（

4k1k2-4k1-2

2k1k2+1

，

-2k1k2-4k2+1

2k1k2+1

）；
用k₂代k₁，k₁代k₂得點M的坐標為（

4k1k2-4k2-2

2k1k2+1

，

-2k1k2-4k1+1

2k1k2+1

）；…（11分）
所以k_MN=

-2k1k2-4k2+1 2k1k2+1 - -2k1k2-4k1+1 2k1k2+1

4k1k2-4k1-2 2k1k2+1 - 4k1k2-4k2-2 2k1k2+1

=

4(k1-k2)

4(k2-k1)

=-1；
即直線MN的斜率為定值-1；          …（14分）
②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，
根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，
故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，-1）；
仍然設DA的斜率為k₂，由①知k_DB=-

1

2k2

；
此時CA：x=2，DB：y+1=-

1

2k2

（x+2），它們交點M（2，-1-

2

k2

）；
BC：y=-1，AD：y-1=k₂（x-2），它們交點N（2-

2

k2

，-1），
從而k_MN=-1也成立；
由①②可知，直線MN的斜率為定值-1；   …（16分）
方法二：由（1）知，橢圓E的方程為

x2

6

+

y2

3

=1，從而A（2，1），B（-2，-1）；
①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k₁，k₂；
顯然k₁≠k₂；
直線AC的方程y-1=k₁（x-2），即y=k₁x+（1-2k₁）；
由

y=k1x+(1-2k1) x2 6 + y2 3 =1

得（1+2k₁²）x²+4k₁（1-2k₁）x+2（4k₁²-4k₁-2）=0；
設點C的坐標為（x₁，y₁），則2•x₁=

2(4k12-4k1-2)

1+2k12

，從而x₁=

4k12-4k1-2

2k12+1

；
所以C（

4k12-4k1-2

2k12+1

，

-2k12-4k1+1

2k12+1

）；
又B（-2，-1），
所以k_BC=

-2k12-4k1+1 2k12+1 +1

4k12-4k1-2 2k12+1 +2

=-

1

2k1

；    …（8分）
所以直線BC的方程為y+1=-

1

2k1

（x+2）；
又直線AD的方程為y-1=k₂（x-2）；
由

y+1=- 1 2k1 (x+2) y-1=k2(x-2)

解得

x= 4k1k2-4k1-2 2k1k2+1 y= -2k1k2-4k2+1 2k1k2+1

；
從而點N的坐標為（

4k1k2-4k1-2

2k1k2+1

，

-2k1k2-4k2+1

2k1k2+1

）；
用k₂代k₁，k₁代k₂得點M的坐標為（

4k1k2-4k2-2

2k1k2+1

，

-2k1k2-4k1+1

2k1k2+1

）；…（11分）
所以k_MN=

-2k1k2-4k2+1 2k1k2+1 - -2k1k2-4k1+1 2k1k2+1

4k1k2-4k1-2 2k1k2+1 - 4k1k2-4k2-2 2k1k2+1

=

4(k1-k2)

4(k2-k1)

=-1；
即直線MN的斜率為定值-1；  …（14分）
②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，
根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，
故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，-1）；
仍然設DA的斜率為k₂，則由①知k_DB=-

1

2k2

；
此時CA：x=2，DB：y+1=-

1

2k2

（x+2），它們交點M（2，-1-

2

k2

）；
BC：y=-1，AD：y-1=k₂（x-2），它們交點N（2-

2

k2

，-1），
從而k_MN=-1也成立；
由①②可知，直線MN的斜率為定值-1．    …（16分）

點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓的綜合應用問題，考查了分類討論思想的應用問題，是較難的題目．