Question

4．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）在x=4處取得極值
• B． f（1）＞f（2）
• C． 函數(shù)f（x）的最小值為0
• D． f（2）-f（1）＜f′（1）

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知f（x）在R上為增函數(shù)，所以無最值、無極值，并且x=4是f（x）圖象的拐點(diǎn)，所以可以了解函數(shù)f（x）圖象的變化趨勢，以及圖象的大致形狀，從而可判斷f（x）在x=1處切線的斜率大于點(diǎn)（1，f（1）），和點(diǎn)（2，f（2））兩點(diǎn)連線的斜率，從而判斷出D是正確的．

解答 解：在x=4兩邊的導(dǎo)數(shù)都大于0，所以f（x）在x=4處取不到極值；
∴A錯誤；
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象知f′（x）≥0；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
∴f（1）＜f（2），f（x）在R上無最值；
∴B，C錯誤；
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象知道f（x）是曲線，并且x=4是f（x）圖象的拐點(diǎn)；
∴根據(jù)f（x）圖象的變化趨勢知：f（x）在x=1處的切線斜率大于兩點(diǎn)（1，f（1）），（2，f（2））連線的斜率；
∴$\frac{f（2）-f（1）}{2-1}＜f′（1）$；
∴D正確；
故選：D．

點(diǎn)評 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，若一個函數(shù)在R上單調(diào)，則它無最值和極值，最值和極值的概念，拐點(diǎn)的定義，以及根據(jù)圖象判斷切線和割線的斜率的大小關(guān)系．