Question

已知函數(shù)f（x）在區(qū)間G上有定義，若對任意x₁，x₂∈G，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為區(qū)間G上的凹函數(shù)．判斷下列函數(shù)是否為給定區(qū)間上的凹函數(shù)？并分別予以證明．
（1）f（x）=-2x²，x∈R；
（2）f（x）=2^x，x∈R．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：新定義

分析：（1）由已知分別求出f（

x1+x2

2

）和

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，然后做差根據(jù)凹函數(shù)的定義即可證明．
（2）利用均值定理可證

1

2

[2x1+2x2]≥2

x1

2

×2

x2

2

，故有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即可證f（x）=2^x為凹函數(shù)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間G上有定義，若對任意x₁，x₂∈G，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[-2x12-2x22]=-x12-x22；
f（

x1+x2

2

）=-2（

x1+x2

2

）²=-

(x1+x2)2

2

；
∵

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]-f（

x1+x2

2

）=-x12-x22+

(x1+x2)2

2

=

(x1+x2)2

2

-x12-x22=-

(x1-x2)2

2

≤0；
既有f（

x1+x2

2

）≥

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）不是區(qū)間G上的凹函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間G上有定義，若對任意x₁，x₂∈G，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[2x1+2x2]≥2

x1

2

×2

x2

2

=2

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）；
既有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）為區(qū)間G上的凹函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．