Question

【題目】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值.

（1）求的值；

（2）記，設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，若對(duì)于定義域中任意的，.當(dāng)且時(shí)，問(wèn)是否存在一個(gè)最小的正整數(shù)，使得恒成立，若存在請(qǐng)求出的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè)直線，曲線.若直線與曲線同時(shí)滿足下列條件：

①直線與曲線相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

②對(duì)任意都有.則稱直線與曲線的“上夾線”.

試證明：直線是曲線的“上夾線”.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意可得，，據(jù)此可得的值，然后驗(yàn)證所得的結(jié)果滿足題意即可；(2)首先由函數(shù)的單調(diào)性確定的值，然后求得函數(shù)的最大值和最小值，結(jié)合恒成立的條件即可確定的值； (3)由題意首先證得直線與曲線相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)，然后令，，易證明，據(jù)此即可證明直線是曲線的“上夾線”.

(1)由已知，于是得：，

代入可得：，.

此時(shí)，.所以.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即，符合題意.

(2)，則.所以單調(diào)遞增，又.

為的根，即，也即.

，.

，

所以存在這樣最小正整數(shù)使得恒成立.

(3)由，得 ，

當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)，

所以是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)，

當(dāng)，此時(shí)，.

所以也是直線與曲線的一個(gè)切點(diǎn)，

即直線與曲線相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)，

對(duì)任意，.

即，因此直線是曲線的“上夾線”.