Question

16．已知△ABC的面積是4，∠BAC=120°，點P滿足$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PC}$，過點P作邊AB，AC所在直線的垂線，垂足分別是M，N．則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 不妨令△ABC為等腰三角形，根據(jù)三角形的面積公式求出b²=c²=$\frac{16}{\sqrt{3}}$，再由余弦定理求出a²=16$\sqrt{3}$，再根據(jù)投影的定義可的，|$\overrightarrow{PM}$|=$\frac{3a}{8}$，|$\overrightarrow{PN}$|=$\frac{a}{8}$，
最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．

解答 解：不妨令△ABC為等腰三角形，∵∠BAC=120°，
∴B=C=30°，
∴b=c，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=4，
∴b²=c²=$\frac{16}{\sqrt{3}}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=$\frac{48}{\sqrt{3}}$=16$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PC}$，
∴|$\overrightarrow{PC}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{BC}$|=$\frac{a}{4}$，|$\overrightarrow{BP}$|=$\frac{3}{4}$|$\overrightarrow{BC}$|=$\frac{3a}{4}$，
∵過點P作邊AB，AC所在直線的垂線，垂足分別是M，N，
∴|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{BP}$|•sinB=$\frac{3a}{8}$，|$\overrightarrow{PN}$|=|$\overrightarrow{PC}$|sinC=$\frac{a}{8}$，
∵∠MPN=180°-A=60°，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=|$\overrightarrow{PM}$|•|$\overrightarrow{PN}$|cos6°=$\frac{3a}{8}$•$\frac{a}{8}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3{a}^{2}}{128}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{8}$

點評 本題考查了余弦定理三角形的面積公式向量的投影的定義和向量的數(shù)量積公式，屬于難題．