Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右準(zhǔn)線是x=1，傾斜角為α=

π

4

的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M(-

1

2

，

1

4

)
（I）求橢圓的方程；
（II）若P、Q是橢圓上滿足|OP|2+|OQ|2=

3

4

的點(diǎn)，若直線OP、OQ的斜率分別為k_OP，k_OQ，求證：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

分析：（I）由于直線AB的傾斜角為

π

4

且過點(diǎn)M(-

1

2

，

1

4

)，可得直線的方程為y=x+

3

4

．代入橢圓方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，由AB的中點(diǎn)為M(-

1

2

，

1

4

)可得a²=2b²．結(jié)合

a2

c

=1可求a，b，c，進(jìn)而可求橢圓方程
（II）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

3

4

，代入可求

解答：解：（I）由于直線AB的傾斜角為

π

4

且過點(diǎn)M(-

1

2

，

1

4

)，
所以直線的方程為y=x+

3

4

．
代入橢圓方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，

x1+x2

2

=

1

2

×(-

3

2

)×

a2

b2+a2

=-

1

2

，
即a²=2b²．
又

a2

c

=1，聯(lián)立a²=b²+c²，
求得a2=

1

2

，b2=

1

4

．
所以橢圓方程為2x²+4y²=1．…（6分）
（II）設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，
由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

1 4 (1-2 x 2 3 ) 1 4 (1-2 x 2 4 ) x 2 3 x 2 4

=

1

4

1-2( x 2 3 + x 2 4 )+4 x 2 3 x 2 4 x 2 3 x 2 4

=

1

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的性質(zhì)求解橢圓的方程，解題中要具備較強(qiáng)的計(jì)算能力與邏輯推理能力，主要考查了考試的計(jì)算能力．