Question

【題目】已知長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為

【解析】

（1）設(shè)，，，利用向量關(guān)系坐標(biāo)化，可得曲線的方程；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，利用恒成立問(wèn)題，可得定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)，，，

由于，所以，

即，所以.又因?yàn)?/span>，所以，

從而，即曲線的方程為.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，

由得，所以，

故，.

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，則

.

當(dāng)，且時(shí)，為常數(shù)，解得.

顯然當(dāng)時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)時(shí)，常數(shù)為.

所以存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為.