Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，作直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

∵y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）
∴當(dāng)直線PQ的斜率k存在時(shí)，可設(shè)其方程的y=k（x-1），且k≠0
又設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有：

2y0=y1+y2 2x0=x1+x2

而由題意，得

y 21 =4x1 y 22 =4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) ∴ y1-y2 x1-x2 = 4 y1+y2

∴k=

2

y0

…（4分）
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線PQ上

∴y0=k(x0-1) ∴ y 20 =2(x0-1)

即得線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為y²=2（x-1）…（5分）
而當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，有PQ⊥x軸，此時(shí)PQ的中點(diǎn)M，即為焦點(diǎn)F（1，0），滿足y²=2（x-1）
綜上，線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為y²=2（x-1）…（6分）