Question

知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）≤kx²對任意x＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，可得f′（e）=3，從而可求實數(shù)a的值；
（2）f（x）≤kx²對任意x＞0恒成立，即為k≥

1+lnx

x

對任意x＞0恒成立．即為k≥

1+lnx

x

的最大值．令g（x）=

1+lnx

x

，求出導數(shù)，求出極值也為最值，即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=ax+xlnx，可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；
（2）f（x）≤kx²對即為x+xlnx≤kx²，即1+lnx≤kx，
f（x）≤kx²對任意x＞0恒成立，即為k≥

1+lnx

x

對任意x＞0恒成立．
即為k≥

1+lnx

x

的最大值．
令g（x）=

1+lnx

x

，g′（x）=

1-(1+lnx)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1，檢驗，x=1處附近導數(shù)左正右負，則x=1為極大值點，也為最大值點，
則g（1）最大，且為1．
則有k≥1．
故實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，考查不等式恒成立問題轉化為求最值問題，解題時構造函數(shù)是關鍵．