(2013•江蘇)如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過(guò)A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
分析:(1)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”,證出F為SB的中點(diǎn).從而得到△SAB和△SAC中,EF∥AB且EG∥AC,利用線面平行的判定定理,證出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC.因?yàn)镋F、EG是平面EFG內(nèi)的相交直線,所以平面EFG∥平面ABC;
(2)由面面垂直的性質(zhì)定理證出AF⊥平面SBC,從而得到AF⊥BC.結(jié)合AF、AB是平面SAB內(nèi)的相交直線且AB⊥BC,可得BC⊥平面SAB,從而證出BC⊥SA.
解答:解:(1)∵△ASB中,SA=AB且AF⊥SB,∴F為SB的中點(diǎn).
∵E、G分別為SA、SC的中點(diǎn),
∴EF、EG分別是△SAB、△SAC的中位線,可得EF∥AB且EG∥AC.
∵EF?平面ABC,AB?平面ABC,
∴EF∥平面ABC,同理可得EG∥平面ABC
又∵EF、EG是平面EFG內(nèi)的相交直線,
∴平面EFG∥平面ABC;
(2)∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB,
AF?平面ASB,AF⊥SB.
∴AF⊥平面SBC.
又∵BC?平面SBC,∴AF⊥BC.
∵AB⊥BC,AF∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.
又∵SA?平面SAB,∴BC⊥SA.
點(diǎn)評(píng):本題在三棱錐中證明面面平行和線線垂直,著重考查了直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理,直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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,cosC=
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