對于實數(shù)a和b，定義運算“*”a*b=
a2-ab，a＜b
b2-ab，a＞b
設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
分析：由新定義寫出分段函數(shù)f（x）=（2x-1）*（x-1）=
2x2-x，x＜0
-x2+x，x＞0
，然后作出分段函數(shù)的圖象，關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根，是指函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有3個不同的交點，數(shù)形結合可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由2x-1＜x-1得，x＜0．
由定義運算a*b=
a2-ab，a＜b
b2-ab，a＞b
，
則f（x）=（2x-1）*（x-1）=
(2x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＜0
(x-1)2-(2x-1)(x-1)，x＞0
=
2x2-x，x＜0
-x2+x，x＞0

函數(shù)f（x）=-x2+x （x＞0）的最大值是-(
1
2
)2+
1
2
=
1
4
．
函數(shù)f（x）的圖象如圖，

由圖象看出，關于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根的實數(shù)a的取值范圍是（0，
1
4
）．
故選D．
點評：本題考查了函數(shù)零點的判斷，考查了分段函數(shù)的圖象，考查了數(shù)學轉化思想和數(shù)形結合思想，判斷一個方程根的個數(shù)，可以轉化為判斷兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b=
a，a-b≤1
b，a-b＞1
，設函數(shù)f（x）=（x2-2）?（x-1），x∈R，若函數(shù)y=f（x）-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是
（-2，1]∪（1，2]
（-2，1]∪（1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•福建）對于實數(shù)a和b，定義運算“﹡”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
設f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是
(
1-
3
16
，0)
(
1-
3
16
，0)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=
a2-ab，a≤b
b2-ab，a＞b
，設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則實數(shù)m的取值范圍是
(0，
1
4
)
(0，
1
4
)
；x1+x2+x3的取值范圍是
(
5-
3
4
，1)
(
5-
3
4
，1)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=
-a2+2ab-1，a≤b
b2-ab，a＞b.
設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1•x2•x3的取值范圍是（　�。�
A、(-
1
32
，0)
B、(-
1
16
，0)
C、(0，
1
32
)
D、(0，
1
16
)

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