Question

11．已知數(shù)列{a_n}（n∈N⁺）的前N項和為S_n，滿足$\frac{n}{2}$a_n，且a₂=1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N⁺），對任意的正整數(shù)k，將集合（b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，求證：數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（3）對（2）題中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列前n項和與項之間的關系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N⁺）的表達式，結合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，結合等比數(shù)列的定義進行證明即可證明數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（3）求出公差d_k，根據(jù)集合元素關系即可得到結論．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n，
∴S_n-1=$\frac{n-1}{2}$a_n-1，
當n≥2時，兩式相減得a_n=$\frac{n}{2}$a_n-$\frac{n-1}{2}$a_n-1，
即a_n=n-1．
（2）b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，
則b_2k-1=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k-2=$\frac{4}{15}$•2^2k-2，
b_2k=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k-1=-$\frac{4}{15}$•2^2k-1，
b_2k+1=$\frac{4}{15}$•（-2）^2k=$\frac{4}{15}$•2^2k，
若對任意的正整數(shù)k，將集合（b_2k，b_2k-1，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，
則b_2k+b_2k+1=2b_2k-1，
則d_k=b_2k+1-b_2k-1=$\frac{4}{15}$•2^2k-$\frac{4}{15}$•2^2k-2=$\frac{{4}^{k}}{5}$，
即$\frac{sx59gor_{k+1}}{yep4cip_{k}}=4$為常數(shù)，即數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（3）①當k是奇數(shù)時，d_k=$\frac{{4}^{k}}{5}$，
同樣，可得，d_k+1=$\frac{{4}^{k+1}}{5}$，
∴集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為（d_k+1-$\frac{1}{5}$）-（d_k+$\frac{1}{5}$）+1=d_k+1-d_k+$\frac{2}{5}$=$\frac{2（1+{4}^{k}）}{5}$．
②當k為偶數(shù)是，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數(shù)為$\frac{2（1+{4}^{k}）}{5}$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的應用，根據(jù)條件求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．