已知函數(shù)f(x)=alnx-
1x
，a∈R．
（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（I）求得函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，即可求a的值；
（II）由于f′(x)=
ax+1
x2
，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′(x)=
a
x
+
1
x2
．
又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，所以f′（1）=a+1=2．解得a=1．
（II）由于f′(x)=
ax+1
x2
．
當(dāng)a≥0時(shí)，對(duì)于x∈（0，+∞），有f′（x）＞0在定義域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-
1
a
∈（0，+∞）；
當(dāng)x∈（0，-
1
a
）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(-
1
a
，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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