Question

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分別是PD，PC，BC的中點．
（1）求證：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG的體積．

Answer 1

解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…（3分）
又∵△PCD中，E、F分別是PD、PC的中點，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）
（2）∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面EFG，
∴CD∥平面EFG，
因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離，
∴V_M-EFG=V_D-EFG，
取AD的中點H連接GH、EH，則EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH?平面PAD，∴EF⊥EH
于是S_△EFH=EF×EH=2=S_△EFG，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形
∴點D到平面EFG的距離等于正△EHD的高，即為，…（10分）
因此，三棱錐M-EFG的體積V_M-EFG=V_D-EFG=×S_△EFG×=．…（12分）
分析：（1）由線面垂直的性質定理，證出CD⊥平面PAD．在△PCD中根據中位線定理，證出EF∥CD，從而EF⊥平面PAD，結合面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面PAD；
（2）根據線面平行判定定理，得到CD∥平面EFG，所以CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離，得到三棱錐M-EFG的體積等于三棱錐D-EFG的體積．再由面面垂直的性質證出點D到平面EFG的距離等于正△EHD的高，算出△EFG的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐D-EFG的體積，即可得到三棱錐M-EFG的體積．
點評：本題給出底面為正方形的四棱錐，求三棱錐M-EFG的體積并證明面面垂直，著重考查了錐體體積的求法和空間線面平行、面面垂直等位置關系判定的知識，屬于中檔題．