Question

15．若（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為a_n，則$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$的值（　�。�

• A． 一定大于2
• B． 一定小于2
• C． 等于2
• D． 一定大于$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式求出a_n，然后求數(shù)列的和．

解答 解：因?yàn)椋?+x）ⁿ的展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2[$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$]=2（1-$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2（1-$\frac{1}{n}$）；
所以$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$的值一定小于2；
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)以及拆項(xiàng)法求數(shù)列的和；關(guān)鍵是正確求出a_n，然后根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)求和．